¡Hoy es el día de Pi!

Por eso de ser el mes 3 y el día 14, ya sabes... Y para celebrarlo, nuestro pulpo Pascal, experto en mates, nos ha traído un pi-chiste ¡para reírse a pi-ñón fijo!

Las mates de Pascal

Como no había ninguna pregunta de los lectores (espérate a que empiece el curso, ya verás, ya) hoy Pascal nos ha traído otro vídeo de uno de sus ídolos, el matemático y divulgador Eduardo Sáez de Cabezón, en su canal de Youtube "Derivando". En este caso, responde a una de esas preguntas que a todos nos ha quitado el sueño alguna noche: ¿Pueden hacer matemáticas los bebés?

Las mates de Pascal

Querido Pascal: el profe de mates se empeña en meternos más y más letras en clase, Por si no fuera bastante con las x y las y, ahora dice que e ¡Si lo hubiera sabido, me habría ido por Humanidades! ¿Puedes explicarme por qué tienen tanta manía con esto y qué es eso de la e? Atentamente: Eusebio Enríquez.

Querido Eusebio, en primer lugar, no tienes que tenerle tanta tirria a las letras. Cuando los matemáticos usamos letras (preferimos llamarlas "variables") en realidad pensamos en ellas como números. Números muy especiales, que quedan un poco ahí en el aire, esperando que alguien les dé un valor. Por ejemplo, cuando decimos que el área de un rectángulo es A = b·a (área = base · altura), la fórmula queda ahí esperando a que alguien le dé un valor a la base y a la altura, luego se multiplican y ya está. Es mucho más cómodo que tener que escribir el área de cada rectángulo en concreto.

Pero el caso de e es especial (y no porque "especial" empiece por "e"). e no es una variable, sino el nombre de un número supermaravilloso:

Y paro de escribir, porque como pasa con pi, e tiene infinitas cifras decimales no periódicas, es decir, que van apareciendo de forma un poco loca, sin ninguna pauta. Si alguna vez te aburres, puedes memorizarte los cien mil primeros decimales.

Pero esto no es algo que algún matemático gruñón se haya sacado de la manga. Al igual que pi, ¡e existe en la naturaleza! Puedes encontrarlo en la fórmula de la desintegración radiactiva, en la que los forenses usan para determinar cuánto tarda en enfriarse un cuerpo o en cualquier objeto con forma de espiral logarítimica (como la concha de un nautilus). Si quieres saber más sobre este fascinante número, te dejo con un vídeo de mi coleguilla Eduardo Sáenz de Cabezón ¡Te sorprenderá!

Las Mates de Pascal

Querido pascal: para variar, me gustan mucho las mates. Son una asignatura maravillosa, y que conste que no lo digo para pelotear. Además, me divierto mucho solucionando acertijos y problemas que sean de ingenio. ¿Podríamos reomendarme alguno? Atentamente: Verdelís Tilla.

Querida Verdelís, no sabes cuánto me alegra encontrar a alguien que disfruta con los números. Son algo tan apasionante que no entiendo cómo puede haber gente a quien no les guste. Por supuesto que puedo; es más, con eso de que hace poco ha sido el día del libro, no te voy a recomendar uno sino tres. Toma nota.

En "Las matemáticas de Oz", de Clifford A. Pickover, hay un montón de problemas de ingenio, casi todos con su puntillo matemático, protagonizados por una niña llamada Dorothy ¡Pero no es exactamente la del Mago de Oz! Esta se va a tener que enfrentar a un retorcido extraterrestre que le plantea acertijos de lo más enrevesados, así que es posible que necesite tu ayuda.

"Los acertijos de SamLloyd" es una colección de problemillas que salían antiguamente publicados en un periódico, y que tenían de uñas a todos los lectores. Aquí hay tanto mates como ingenio, así que prepárate. Te aviso también de que algunos son difíciles, así que espero que te gusten los desafíos.

Finalmente, y para los más atrevidos, "El acertijo del Mandarín", de Henry E. Dudeney, nos presenta una buena colección de comecocos de todo tipo, desde acertijos del estilo de toda la vida, hasta problemas geométricos o paradojas. ¡Si resuelves aunque sea la mitad, puedes considerarte un peso pesado de la deducción, la lógica y las mates!

¿Qué te parecen las recomendaciones? Con estas tienes para estar entretenida un bueeeen rato ¡A mí me chifaln, aunque no consiga resolverlas todas!

Las mates de Pascal

Querido Pascal: quiero decirte que las mates se me dan genial y soy un absoluto crack en ellas. No creo que haya ningún misterio para mí en lo que a las operaciones básicas se refiere, y eso hace que me aburra un poco en clase. ¿Cuándo me van a enseñar algo que de verdad sea potente? Atentamente: Iván Idoso.

Querido Iván, con todo el cariño del mundo, tengo que decirte que menos lobos, Caperucita. A mí también me gustan las mates a rabiar, pero no voy por ahí creyéndome lo más de lo más, porque siempre puede haber problemas de lo más interesante referidos a lo que tú llamas "operaciones básicas". Y si no te lo crees, te animo a ver el siguiente vídeo del canal "Derivando", que lleva camello fantasma incluido.

Pero si de verdad te crees capacitado para meterte con las matemáticas para mayores, busca en cualquier biblioteca algún libro de teoría de conjuntos o de cálculo tensorial, vuelves y hablamos. Mientras tanto, te aconsejo que atiendas en clase, porque siempre se pueden aprender cosas nuevas.

 

Las mates de Pascal

Querido Pascal: no he podido evitar darme cuenta de que hoy es el 22 del 2 del 2022. No me digas que no es singular. ¿Tiene algo matemáticamente especial el número 2? ¿Es importante en la Naturaleza? ¡Muchas gracias! Atentamente: Doslores Pareja.

Querida Doslores, ciertamente es una fecha muy curiosa (lástima que no estemos en el año 2222) y aunque a mí me gusta más el número 8 (por eso de que uno tiene ocho tentáculos) resulta que ¡8 es dos elevado al cubo! Así que sí, el número 2 es algo muy peculiar. Hablemos y juguemos con él un poco, a ver con qué curiosidades damos.

Para empezar, el 2 es el menor número primo, y el único número primo par. Es el único número que da el mismo resultado si se suma a sí mismo, se multiplica por sí mismo o se eleva a sí mismo. Es el tercer número de la serie de Fibonacci, el primer número primo factorial, el primer número primo de Sophie Germain (n es primo, y 2n+1 también) y el primer número primo de Lucas.

El dos es la base del sistema numérico más simple (el binario, basado en 0 y 1 y sin el cual no tendríamos toda la computación actual). La mayoría de los seres vivos con reproducción sexual tienen dos sexos, y muchos animales tienen simetría bilateral (con dos brazos, dos piernas, dos ojos, dos oídos, etc.). El dos es el número típico de la simetría (aunque hay simetrías que no se basan en el 2) y, salvo excepciones, todos los seres con extremidades tienen un número par de ellas (las estrellas de mar son un caso aparte, muy señoronas ellas).

Y para terminar, que sepas que el 22 es un número capicúa ¡y su cuadrado, 484, también lo es!

Especial Navidad: Las mates de Pascal

Querido Pascal: teniendo en cuenta las fechas en las que estamos, es normal escuchar todo el santo día lo del "25 de diciembre". Yo quería preguntarte, como matemático que eres, ¿tiene algo de especial el número 25, aparte de ser múltiplo de cinco? Atentamente: Luisín Correas.

Querido Luisín, me encantará responder a tu pregunta, porque aunque mi número favorito es el ocho (y no solo por tener ocho tentáculos) el veinticinco tiene unas cuantas curiosidades curiosas. Ojo, que la fecha de Navidad no se eligió por ninguna de ellas (tampoco fue exactamente la fecha del nacimiento de Jesús, como descubrirás si investigas un poco) pero es que a los que nos gusta las mates estas cosillas nos enamoran. ¿Estás listo? ¡Pues vamos allá!

Para empezar por lo fácil, el 25 es un cuadrado perfecto, es decir, un número con raíz cuadrada natural (sin decimales). Y da igual a qué lo eleves ¡el resultado siempre termina en 25! También es un número defectivo. Un número defectivo es aquel cuyos divisores (excepto el mismo número) suman menos que el propio número, y como los divisores de 25 son 1 y 5, pues ahí lo tienes.

¿Quieres más? Es el cuadrado más pequeño que es a la vez suma de dos cuadrados perfectos: dos al cuadrado más tres al cuadrado es igual a cinco al cuadrado. Y eso, como seguramente habrás visto, no es otra cosa que una terna pitagórica (Aahh... las ternas pitagóricas... Otro día hablaremos de ellas).

25 es un número semiprimo, es decir, es producto de dos números primos no necesariamente distintos: 5x5. También es la suma de los cinco primeros números impares: 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Yendo a niveles más altos, 25 es un número de Cullen, o lo que es lo mismo, se puede sacar con la fórmula n·(2 elevado a n) +1. Si sustituyes la n por 3, verás cómo te da 25. Y es un número de Friedman, que son los que pueden conseguirse, dada una base numérica, utilizando sus cifras y las cuatro operaciones básicas y las potencias (25 = 5 elevado a dos).

Para acabar, hay 25 números primos menores que 100, y el 25% es el porcentaje promedio de ADN que compartes con tus abuelos, tíos o sobrinos.

¡Es sensacional! ¿A que sí? Estas navidades, ya puedes decir que vas a celebrar el 5 al cuadrado de diciembre, que es una fecha perfecta, que te trae recuerdos de Pitágoras a pesar de sus "defectivos". ¡Feliz cuarto número de Cullen de diciembre para todos!

Las mates de Pascal

Querido Pascal: una duda me carcome por dentro. Todo el mundo habla de pi, pero nadie me dice de dónde viene. ¿Quién se inventó este número? Atentamente: Pilar Pisuerga Piñas.

Querida Pilar, la respuesta te va a sorprender: pi no se lo inventó nadie ¡Siempre ha existido! ¡Siempre! Desde que hubo algo redondo, ya sea un planeta o una órbita, lo que sea, ya existía pi, aunque no hubiera nadie para medirlo. A tu alrededor, pi está por todas partes. ¿Quieres buscarlo? Es muy fácil, aunque te aviso también que pi, que es muy tiquismiquis, no va a asomar del todo.

Coge un cordel y una regla o un metro. Con ellos mide el borde de algo circular, como la tapa de un bote de mermelada, una moneda o una lámpara (circular). ¿Ya has anotado lo que te da? Tienes que ser lo más precisa posible, porque ya te he dicho que pi es muy especialito. Ahora, en ese mismo objeto que has escogido, mide el diámetro (el punto donde es más ancho). Esto puede ser un poco difícil hacerlo con exactitud, pero inténtalo.

Luego haz las cuentas: divide la longitud del borde entre la longitud del diámetro. Si quieres, para ser más precisa, usa calculadora, o saca todos los decimales que puedas. Si lo has hecho bien, te tiene que salir un resultado muy parecido a 3,1416... Y si repites la operación con otros objetos circulares, te llevarás la sorpresa de dar una y otra vez con valores parecidos ¡No importa lo grande o pequeños que sean!

Así que pi no se lo inventó nadie. Culturas antiguas, como la griega, ya lo conocían (aunque no acertaron del todo con su valor exacto). El inglés William Oughtred fue el primero en usar la letra griega para nombrar este número (por cierto, "pi" no hace referencia a Pitágoras, sino a la palabra "perímetro") pero fue el genial, el incomparable, el magnífico Leonhard Euler quien popularizó su uso.

Y si todavía no te crees que pi está ahí fuera, te dejo este vídeo del canal "Derivando", que está lleno de sorpresas matemáticas ¡Te animo a visitarlo! El amigo Eduardo Sáez de Cabezón es un crack.

Pascal recomienda...

Se llama Edu Sáenz de Cabezón, y es el mejor profe de Mates que podrías imaginar. Quizás no podrás disfrutar de él en el aula, pero sí en su canal de Youtube "Derivando". ¡No te lo pienses más y suscríbete! Como muestra, te dejamos aquí una de sus miniclases en la que nos habla del curioso problema del conejo bajo la cuerda. ¿Que no lo conoces? Pues te garantizamos que te vas a quedar ojiplático...

Las mates de Pascal

Querido Pascal: aquí va una pregunta tonta ¿Los animales tienen números favoritos? Atentamente: Mónica Torce.

Querida Mónica, lo cierto es que dudo mucho que una lombriz tenga nada favorito salvo comer tierra, pero es cierto que hay ciertas regularidades. Por ejemplo, a los animales parecen "gustarle" más los números pares; para el número de patas tienes dos, cuatro, seis, ocho, diez, etc. Salvo en los equinodermos, claro, a los que les mola mucho el número cinco.

Entre las plantas también hay ciertas pautas y "preferencias". Las crucíferas (familia entre las que están la coliflor y el brécol) tienen siempre cuatro pétalos. Las liliópsidas (la familia de los lirios) siempre exhiben tres pétalos, y, en definitiva, cada familia de plantas tiene su propia fórmula floral ¡Pero no te asustes! No son fórmulas matemáticas para operar, aunque tengan números, sino una forma abreviada de indicar el número de sépalos, pétalos, estambres y piezas del gineceo, con una forma parecida a esta:

 

Ca⁵Co⁵A^{10 - ∞}G¹

 

¡Menudo lío! Aunque no te lo creas, esto tiene mucho sentido para un botánico. Pero no te preocupes, no las necesitas para disfrutar de las flores en el campo. Eso sí, si te paras a observar las flores, podrás comprobar que cada grupo de plantas tiene sus preferencias en cuanto a número de pétalos.

Las mates de Pascal

Querido Pascal: asombrado me he quedado cuando el profe de mates dijo que íbamos a trabajar con parábolas, y yo creí que iba a hablar como el de "reli" con eso de las parábolas de Jesús. Sin embargo, empezó a escribir funciones con muchas equis al cuadrado y cosas así. Mi pregunta es: ¿esas cosas existen de verdad? Atentamente: Xavier Cuadrado.

Querido Xavier: como te puedes imaginar, las parábolas de mates no son las mismas que las parábolas de religión. No es porque me gusten los números, pero las primeras son más interesantes. Y te aseguro que son muy útiles, como pronto verás.

Las parábolas son la representación de una función de tipo cuadrático. Como es posible que te hayas quedado a "cuadraticos" con esta definición, te aclararé que una función de tipo cuadrático es la que tiene una equis al cuadrado como mayor exponente (que es lo mismo que decir que es de segundo grado). Por ejemplo:

Cuando das valores a "x" y calculas la correspondiente "y", y luego representas los puntos en una gráfica, encontrarás algo como esto (¡no se corresponde con la fórmula anterior!):

Quizás no te impresione mucho, pero si le cambiamos el signo a la equis al cuadrado y la ponemos negativa, la gráfica se da la vuelta:

¡El caso es que hay muchos ejemplos en la Naturaleza que siguen este patrón! Si lanzas algo hacia delante y hacia arriba, describirá una parábola ¡O si ves salir un chorro de agua de una fuente de un parque! Así que ya ves que eso de las parábolas no solo existe, sino que te serviría para calcular la trayectoria de una flecha que dispararas al aire ¡Tachán!

 

Las mates de Pascal

Querido Pascal: en clase nos han explicado que la información encerrada en el ADN se escribe con solo cuatro letras. ¿Cómo puede ser eso posible? A mí me parece que somos demasiado complicados como para que las instrucciones se escriban solo con A, T, C y G. ¿Puedes aclararme la duda, aunque sea sobre letras? Atentamente: Ágata Cata.

Querida Ágata: claro que puedo sacarte de dudas, y tu pregunta tiene más de matemáticas que de letras. Porque en realidad, A, T, C y G no son "letras" sino las abreviaturas de cuatro moléculas llamadas adenina, timina, citosina y guanina. Pero bueno, seguiremos tratándolas como "letras" para abreviar.

Uno podría pensar que no se pueden contar muchas cosas interesantes con cuatro letras, pero lo cierto es que hay más combinaciones de las que te imaginas, las suficientes como para controlar el funcionamiento de la célula y para que haya una información diferente para cada ser vivo sobre el planeta (si exceptuamos a los individuos genéticamente idénticos, como los gemelos univitelinos). Vamos a ver primero un caso sencillo, y luego lo extrapolaremos a un humano.

Imagina un fragmento de ADN de solo diez "letras". ¿Cuántas combinaciones son posibles? Para la primera de ellas hay cuatro posibilidades, y para cada una de ellas, otras cuatro en la segunda posición, y así sucesivamente. Estaríamos hablando de 4 elevado a 10, o sea:

4x4x4x4x4x4x4x4x4x4 = 1.048.576 posibilidades

No está mal, aunque no es muy impresionante si estuviéramos hablando de un ser vivo. Claro que estos tienen cadenas de ADN más largas. La de los humanos tiene, redondeando... ¡1.500 millones de "letras" en cada hebra!

Ni tú ni yo ni nadie podemos hacernos una idea de cuántas son estas combinaciones. En serio. De hecho, si intentas hallarlo con una calculadora, verás que esta se rinde ¡no puede con algo tan grande! Así que yo creo que aunque solo sean cuatro letras, hay material suficiente ¿No crees?

Las Mates de Pascal

Querido pascal: esta mañana en clase el profe no estaba hablando del tamaño de los átomos y me he quedo un poco liado. ¿Cuánto son realmente 0,1 "enanómetros"? Atentamente: Luisito C. Anijo.

Querido Luisito, aunque se usan para medir cosas tremendamente pequeñas, no se dice "enanómetros", sino nanómetros, y corresponden a una mil millonésima parte de un metro. Como seguramente esto te ha dejado igual que estabas, vamos a explicar las cosas con un poco más de detalle.

En clase normalmente se explican los múltiplos y submúltiplos usando tres por arriba y tres por abajo. Es decir, que hablamos de metros, y hablamos de decámetros, hectómetros y kilómetros (por arriba) y decímetros, centímetros y milímetros (por abajo). Suficiente para explicar el sistema, y para las cosas que manejamos en nuestra vida cotidiana. Pero aunque un milímetro te parezca pequeño, hay cosas más pequeñas aún. Mucho mucho más. Muchísimo.

Vamos a imaginar un glóbulo rojo, una de esas celulillas que van por tu sangre transportando oxígeno y dióxido de carbono. Miden 8 micras (o micrómetros). ¿Cuanto es una micra? Busca por ahí una regla, una de esas que tienen marcas para los centímetros y otras más pequeñas para los milímetros. ¿Ya la tienes? Mira la distancia que hay entre dos rayas de milímetro, y divídela en mil partes iguales. Luego toma ocho de esas partes. Eso son ocho micras. Si has intentado hacerlo de verdad no habrás podido, ¡porque los lápices que usamos son excesiva, gigantescamente gruesos para eso! Ni siquiera si lo haces con la imaginación habrás podido, seguramente.

¡Pero no hemos terminado! Hablábamos de una célula, y aunque sea algo muy pequeño, ¡es descomunal comparado con un átomo! Para tener un nanómetro, tienes que coger un milímetro y dividirlo ¡en UN MILLÓN de partes iguales! Y cuando lo hayas hecho, uno de esos nanómetros tendrás que partirlo en diez cachos para tener 0,1 nanómetros (una unidad, que, por cierto, se llama Armstrong, en honor al físico sueco Anders Jonas Armstrong).

¿Te duele la cabeza intentando imaginar cosas tan superdiminutas? No te preocupes, es normal, y también divertido ¡Si supieras la de cosas que existen a esas escalas de tamaño! ¡Menos mal que las Mates están preparadas para todo!

ESPECIAL NAVIDAD: Las mates de Pascal

Querido Pascal: ¿es verdad que todos los copos de nieve son distintos entre sí? ¿TODOS TODOS? ¿Y por qué tienen esas formas tan bonitas? Atentamente: Nieves Blanca.

Querida Nieves, primero ¿qué grado de seguridad quieres? Porque está claro, para empezar, que NADIE a examinado absolutamente TODOS los copos de nieve caídos en TODO el mundo durante TODAS las épocas... Pero si alguien ha observado, digamos, un millón de copos y nunca ha encontrado dos iguales ¿eso te vale como base para decir lo que se dice? Personalmente, como matemático, no descarto que entre toda esa gigantesca, astronómica, cantidad de copos, haya al menos un par de idénticos, pero no pienso comprobar uno por uno. Puedo vivir con la duda.

Tu otra pregunta es también bastante interesante. Entendamos primero cómo se forma un copo. Debe haber primero una pequeña partícula que sirva de núcleo - un granito de polvo, por ejemplo - para que se empiece a formar el copo. Entonces el hielo comienza a formarse en torno a él, formando un minicristal en forma de prisma hexagonal (¡Ah, la belleza de la geometría!). Si la temperatura cae por debajo de los -10ºC en la nube, los cristales de hielo se alargan a partir de los vértices del prisma, formando esas ramificaciones puntiagudas que dan a los copos esas formas tan bonitas. Como la aparición y la forma de esas ramas depende de factores ambientales minúsculos y variables, es extremadamente improbable que se repita el patrón en dos copos. Y esto no lo digo yo, que conste, sino un equipo de investigadores de Wisconsin que hicieron el experimento en 1988. Demostraron que, controlando mucho todos los factores en laboratorio, era posible crear copos idénticos, aunque, eso sí, no les quedaban tan bonitos como los naturales.

Para acabar, te recomiendo que te pases por la página de Gaiaciencia, donde podrás ver fotos y vídeos muy chulos con copos de nieve espectaculares.

Las mates de Pascal

Querido pascal: el otro día, en clase, el profe estaba hablando de terremotos, y mencionó algo llamado escala Richter y que uno que fuese de magnitud 4 no era tan peligroso. Luego dijo algo que había salido en las noticias, de en no sé qué parte del mundo había habido uno de magnitud siete. Se me ocurrió decir "Ah, pues solo es un poquito más que el de 4, así que no habrá sido mucho". Mi profe me miró con cara de horror y empezó a decir cosas extrañas sobre logaritmos ¿Puedes tú, con tu gran conocimiento de los números, explicarme la reacción de mi profe? Atentamente: Avelino Portuno.

Querido Avelino, cuando te aclare lo que ha pasado, entenderás por qué tu profesor se hacía cruces con tu comentario. El problema, básicamente, es que tu pensabas en una escala normal, y él en una logarítmica. Veamos de qué va esto.

Cuando decimos que la escala de Richter - que, efectivamente, mide la cantidad de energía liberada por un terremoto - es logarítmica, queremos decir que cada grado que "subimos" no sumamos un poco de intensidad, sino que multiplicamos la intensidad anterior; concretamente, por 32 (en números redondos). Es decir, un terremoto de 5 en Richter no es "un poquito" más fuerte que uno de 4, sino treinta y dos veces más fuerte. ¡Así que uno de 7 es 32x32x32=32768 veces mayor! Como ves, no es cosa de risa, ni tu profe estaba siendo un alarmista.

La escala Richter es abierta. Aunque habitualmente se diga que va del 0 al 10, en teoría no hay límite máximo. Pero el caso es que desde el principio de la historia de la humanidad no se ha registrado nunca ninguno de magnitud 10 ¡Y esperemos que no ocurra! El récord lo tiene el terremoto de Valdivia (Chile) en 1960, con 9,6 puntos. Otro bien gordo fue el de Japón del 11 de marzo de 2011, de 9 puntos ¡logró mover ligeramente el eje del planeta, acortando los días en 1,8 microsegundos! Quizás te parezca poco, pero párate a pensarlo: el terremoto MOVIÓ EL EJE DE ROTACIÓN DE NUESTRO PLANETA. Ahí es nada.

Las mates de Pascal

Querido Pascal: acabo de ver un documental de África y me ha venido una pregunta a la cabeza ¿Por qué los herbívoros se juntan en grupos tan grandes? ¿Es que no se dan cuenta de que así los encuentran mejor? ¡Sería como poner todo un montón de comida a disposición de los depredadores! No sé si esto va de mates, pero yo te expongo mi duda... Atentamente: Nerea Sombrada.

Querida Nerea, claro que tiene que ver con las mates, como tantas y tantas cosas en esta vida. Concretamente, con algo que a mí y a mi tocayo Blaise Pascal nos apasiona: las probabilidades. Los biólogos lo llaman "factor de dilución", pero créeme: la cosa va de probabilidades, al fin y al cabo.

Vamos a ver: imagina que eres un herbívoro y tienes que pacer en la sabana africana. Si estás tú sola y pasa por allí una leona hambrienta ¿a quién escogerá? ¡Pues al único que hay, claro, a ti! Un caso favorable (para la leona) entre un caso posible, o sea, 1/1.

Pero si sois dos, la probabilidad de que te escoja a ti es de una entre dos (1/2) y si sois cuatro, un cuarto (1/4). ¿Ves por dónde voy? Ahora piensa en esos rebaños de centenares o miles de ñúes ¿A que te vendría bien que la probabilidad de que la leona se fijara en ti fuera de 1/3426?

La cosa es un poco más compleja, porque no todos los individuos de un rebaño tienen la misma probabilidad de llamar la atención. Los depredadores se fijan más en los heridos, los lentos o los débiles ¡No son tontos! Pero incluso estos tienen un poco más de protección si pueden esconderse entre muchos...

¡Y las probabilidades no acaban ahí! Porque piensa que no puedes comer y vigilar al mismo tiempo. Si estás en un grupo de tres, y en un momento dado estás pastando, hay una probabilidad de 3/4 (1 - 1/4, que es la probabilidad de que los otros dos estén a la vez comiendo) de que al menos un compañero esté vigilando. Cuanto más grande sea el grupo, más posibilidades hay de que alguien esté "con la antena puesta" y dé la voz de alarma al divisar una leona hambrienta. Así que ya ves: ¡las mates te ayudan a sentirte seguro ante el peligro de que te coma un león!

Las Mates de Pascal

Querido Pascal: la profe de Ciencias nos ha dicho que muchas plantas, como los dientes de león, sueltan un montón de semillas diminutas al viento para reproducirse. Pero ¿no es una tontería? Quiero decir, lo más seguro es que se desperdicien cayendo en cualquier sitio. ¿Por qué lo hacen así? ¿Me lo puedes explicar? Atentamente: Jose Milla.

Querido Jose, lo primero que tienes que pensar es que, si plantas como los dientes de león llevan tantos miles y millones de años sobre la Tierra, es que la idea no tiene que ser tan mala ¿no? Entonces, lo que tenemos que preguntarnos es dónde está el "truco". La cosa, por cierto, tiene que ver con las probabilidades, una de mis ramas favoritas de las Matemáticas.

Imagínate que una semilla en concreto tenga una posibilidad entre cien de caer en un sitio apropiado para germinar. Eso es como apostar a que en una caja con bolas numeradas del uno al cien, al sacar una al azar tuvieras que sacar la que tiene el número "100". ¿Difícil, eh? Sí, pero el truco está en que si eso se hace muchas veces, la cosa cambia. Si esa planta es capaz de formar doscientas o trescientas semillas, la ley de probabilidades dice que tendrá éxito dos o tres veces. Y tener dos o tres "hijos" es más de lo que muchos humanos (y pulpos) consiguen en vida. Además, piensa que una semilla como la del diente de león o el chopo (esas molestas pelusillas blancas que encuentras en primavera) son sencillas y "baratas" de fabricar, por lo que la planta puede formar cantidades grandes.

En el otro extremo, tenemos aquellas plantas que forman pocas semillas, grandes y costosas, como el cocotero. Ahora la planta mete menos veces la mano en la urna en busca de la bola correcta. La diferencia está, por supuesto, en que cada una de esas semillas tiene más probabilidades de salir adelante, por lo que la apuesta sale más o menos igual.

"Jugar" muchas veces con probabilidades muy pequeñas, o pocas veces con probabilidades más favorables. No hay una solución mejor que la otra, ¡y es que las plantas saben mucho de esto del azar!

Las mates de Pascal

Querido Pascal: necesito tu ayuda. El otro día me surgió una duda tonta que me tuvo desvelada toda la noche: ¿cuántos granos de arena hay en una playa? Me puse a contarlos con la imaginación como quien cuenta ovejitas, pero para cuando amaneció aún no había terminado. Tú que eres tan bueno con los números ¿podrías echarme una mano? Atentamente: Constanza Contadora.

Querida Constanza, lo primero que tengo que decirte es que no es así como atacaría yo el problema. ¡Contar uno a uno los granos, madre mía! ¿Y qué pasa si te equivocas y tienes que volver a empezar? Se me rizan los tentáculos solo de imaginarlo.

Un matemático lo plantearía de otra manera. Por ejemplo, podemos medir más fácilmente la extensión de la playa. Una playa típica podría tener unos cincuenta metros cuadrados y unos cinco metros de arena de profundidad, lo que nos da 250 metros cúbicos. Por otro lado, sin un grano tiene más o menos medio milímetro de lado, en un centímetro cúbico podemos estimar que hay 20x20x20 = 8000 granos. Es decir, en un metro cúbico habría 8.000.000.000 granos (¿no sabes cómo cambiar de unidades? ¡Te lo explico si quieres también!). Si multiplicas esa cifra por el volumen de arena que habíamos calculado, nos da un total de 20.000.000.000.000 (o sea, veinte billones) de granos de arena.

A lo mejor dices que he hecho trampa. Me he puesto a hacer cuentas y suponer números, pero no he contado nada de verdad. Bueno, puedes recalcular las dimensiones de tu propia playa, si quieres. Además, Constanza, al realizar determinadas mediciones es razonable aceptar un margen de error. ¿En serio hay mucha diferencia entre decir 20.000.000.000.000 granos y decir 20.000.000.430.127? Los matemáticos incluso tenemos fórmulas para determinar si una estimación es lo bastante buena o no. Por ejemplo, entre las cifras anteriores solo hay una diferencia menor del 0,0000000215%. Desde luego, si te parece un error importante es que eres una tiquismiquis. En cualquier caso, a mí me parece mejor que andar contando granito a granito...

Las mates de Pascal

Querido Pascal: el otro día, en clase de Geología, estaba yo un poco abstraído pensando en mis cosas, y en un momento que bajé a tierra me encontré que el profe estaba hablando no se qué de buzos, y dibujando líneas y números en la pizarra. Aclárame la duda: ¿mi profe se ha vuelto por fin tarumba? Atentamente: Andrés Pistado.

Querido Andrés, lo que seguramente le estabas oyendo a tu profe de Geología cuando "aterrizaste" era una explicación sobre buzamientos, y lo que había en la pizarra serían ángulos. No te extrañe: como suelo decir, las Matemáticas llegan a todas partes con sus numéricos tentáculos. Pero vamos a empezar por el principio...

Este señor de insigne peluca es Nicolás Steno, uno de los padres de la Geología. Entre otras aportaciones, estableció los tres principios básicos de estratigrafía: el de superposición, el de continuidad y - el que nos interesa ahora - el de horizontalidad. Lo que dice este es que todos los depósitos de materiales que se forman y posteriormente se convierten en rocas son por defecto horizontales. Y si no lo son, es porque algo los ha empujado, doblado, roto o estrujado.

Y es que, como ves en la foto, las rocas también pueden inclinarse ¡e incluso doblarse! Puede parecer raro, pero cuando actúan fuerzas tan fuertes y calores tan calientes, todo es posible, amigo Andrés. Y te aseguro que la Tierra es capaz de esas proezas. Pero vamos a lo que íbamos. Cuando un estrato queda inclinado, forma un ángulo con la horizontal. Ese ángulo es lo que los geólogos llaman buzamiento. También se habla de buzamiento cuando se calcula la inclinación de fallas, ejes de pliegues y cualquier otra superficie de interés. Como ves, es algo sencillo e importante, así que no te distraigas tanto en clase.

Las mates de Pascal

Querido Pascal: siempre nos han dicho que el arco iris tiene siete colores. Sin embargo, yo creo que hay más. ¿Dónde están el beis, el turquesa, el carmesí o el color carne? ¡No a la discriminación por el color! Atentamente:Blanca Rojas.

Querida Blanca, la cosa es que en el arco iris no hay solo siete colores. Fíjate muy bien cuando veas uno, y verás que no hay franjas delimitadas con cada color (que es como lo solemos pintar, para no complicarnos la vida), sino que es todo un continuo de colores. Fíjate en estas dos imágenes ¿Ves la diferencia?

Eso quiere decir que entre el rojo-rojo y el violeta-violeta hay una enorme, infinita, variedad de colores, y eso que después podríamos variar el brillo o mezclarlos entre sí ¡Por si no tienes suficientes! ¿Y he dicho "infinitos"? ¡Sí! Es algo así como los números racionales: entre el 1 y el 2 tenemos el 1,1, el 1,2, el 1,3... Pero también el 1,12, el 1,13, el 1,132, etc. ¡Buf! Como para contarlos todos.

Por cierto, a lo mejor te estás preguntando dónde están dos colores muy importantes ¡El blanco y el negro! El caso es que el blanco, en un arcoiris, lo estás viendo, pero descompuesto. La luz blanca, cuando nos llega desde el sol y choca con las gotitas de lluvia, se refracta y se separa en todos esos colores ¡Aunque te parezca extraño, el blanco es la mezcla de todos esos colores! 

¿Y qué pasa con el negro? Bueno, lo cierto es que el negro es en realidad un no-color. Es decir, si algo no tiene ninguno de los demás colores, entonces lo ves como negro. Por eso no lo ves en el cielo. Y menos mal, porque un arco iris con negro quedaría un poco raro ¿no?